Starten met breuken? Ga (ook) tellen!

Dit is een tip voor wie gaat starten met (het conceptueel begrip van) breuken! 

We starten met de deur in huis: de basisactiviteit... de onderbouwing volgt eronder.

1. Geef leerlingen drie even lange stroken. Zorg ervoor dat ze breed genoeg zijn om op te kunnen schrijven.
2. Laat leerlingen deze middels vouwen verdelen in tweeën, vierden en achtsten. Laat ze hier vooral even mee stoeien... (laat ze elkaar helpen... zorg voor backup stroken…) Voor leerlingen die worstelen met de opdracht kun je uiteindelijk de tip geven (vouw door de helft… vouw elke helft door de helft… vouw elk stukje nog eens door de helft…)
3. Nadat de leerlingen de stroken hebben gevouwen, markeren ze de vouwlijnen met stift. Ook labelen ze elk breukdeel met de stambreuk (de teller blijft dus één!)
4. Laat de gecreëerde breukenstroken onder elkaar leggen. Bespreek de vraag: wat valt je op?
5. Model vervolgens een telactiviteit. Pak de strook van de helften. Wijs steeds aan. Ik heb één tweede. Ik heb twee tweeden… gebaar naar de totale strook… ik heb één strook. Pak de strook van de vierden. Ik heb één vierde. Ik heb twee vierden (van de strook)... ik heb drie vierden… ik heb vier vierden…. gebaar naar de hele strook… ik heb één strook.  Herhaal bij de achtsten.
6. Herhaal nu deze activiteit en laat de leerlingen hardop meedoen en meewijzen op hun strook.
7. Laat leerlingen het ook nogmaals in tweetallen doen.
8. Stel nog klassikale vragen, zoals: Tel vijf achtsten op je strook en wijs aan hoeveel dat is. Wijs twee vierden aan en wijs aan hoeveel dat is… etc.

Deze activiteit kun (moet) je herhalen in verschillende variaties ervan.

• Laat leerlingen een volgende keer derden, zesden en negenden maken (wederom met de vraag: wat valt je op?)
• Laat leerlingen objecten ‘meten’ met hun stroken. Mijn boek is drie vierde strook lang… nee wacht… ik kan het nog preciezer meten met deze strook… mijn boek is iets minder dan zeven achtste strook”
• Laat leerlingen breukdelen tellen in andere variaties. Deze kunnen ze zelf maken, maar je kan natuurlijk ook allerlei breukenmaterialen gebruiken.

• Leg de link met vermenigvuldigen (of laat de link ontdekken). Eén vierde… twee vierden… drie vierden… Hey… dus 3 x één vierde is drie vierden?)
• Uiteindelijk is het ook zeker de bedoeling om breuken te tellen op een getallenlijn. De getallenlijn is bijzonder nuttig om leerlingen de relatieve grootte van een breuk te laten zien.

Onderbouwing: Breuken tellen, waarom zou je dat doen?

Als je aan getalbegrip bij breuken werkt, moet je eigenlijk een aantal concepten tegelijk ontwikkelen. Hierbij horen steeds verschillende didactische technieken, die weer horen bij de verschillende betekenissen die breuken kunnen hebben (een breuk kan bijvoorbeeld een verhouding weergeven, maar ook optreden als factor of het resultaat zijn van een verdeling. De betekenis die een breuk draagt hangt af van de context). Het verhaal is dus met deze activiteit zeker niet "af".

Deze activiteit hierboven benadrukt namelijk vooral de betekenis van een breuk als een opzichzelfstaand getal. Het tellen van breukdelen, ofwel herhaald optellen (itereren), helpt leerlingen om de relatie tussen de delen (de teller) en het geheel (de noemer) te begrijpen en om een breuk te zien als één getal (en niet als twee losse getallen) (Van de Walle et al. 2021).

In feite leren leerlingen hier dat zij een geheel zowel als één kunnen zien, als een verzameling van even grote delen van een bepaalde breuk. Het getal in de noemer geeft aan in hoeveel gelijke delen het geheel wordt verdeeld. Ook leren ze dat ¾ kan worden gezien als een herhaalde optelling van drie keer één vierde. Het is zeker slim om aan dit inzicht veel tijd te besteden. Het ontwikkelen van dit inzicht is een sterk fundament voor het begrijpen van alle andere functies van breuken.

In verschillende onderzoeken komt naar voren dat wanneer leerlingen breuken (óók) leren zien als “aaneengeschakelde stukjes”, ze:

• beter worden in schatten in breukstiaties
• beter worden in het vergelijken van breuken
• beter worden in optellen met ongelijke noemers
• beter “gevoel krijgen” of een uitkomst (van een optelsom) groter of kleiner dan 1 is.

Wanneer doe je dit?

In Nederland beginnen we betrekkelijk laat met het “formele” onderwijs in breuken. In veel hedendaagse lesmethodes komt in groep 6 de eerste echte “breukeninstructie” om de hoek kijken. In veel andere landen begint het expliciete breukenonderwijs in hun equivalent van onze groep 5. Het ontwikkelen van een gedegen getalbegrip van breuken vergt immers tijd.

Deze activiteit past dus ook zeker in groep 5. Het komt in ieder geval nádat kinderen in groep 1, 2 en 3 al volop hebben kennis gemaakt met de woorden “half” en “kwart” (de notatie van breuken komt ná de taal van breuken) en in groep 4 al hebben geoefend met het eerlijk verdelen van helen in halven, kwarten en derden.

Het is natuurlijk ook fijn als leerlingen al enigzins vertrouwd zijn met de notatie van de breuken.

Bonus: technologie

In feite gebruikt deze didactische techniek het meetkundige aspect van de breukdelen. In verschillende wetenschappelijke studies wordt precies dit aspect gebruikt in “serious games”. Zo past de studie “Putting fractions together” van Braithwaite & Siegler (2019) het “itereerconcept” toe in een spel waarbij leerlingen een monster moeten vangen die érgens verstopt zit op de lege getallenlijn. Het spel biedt hierbij verschillende (slim doordachte) scaffolds. In een eerste fase slepen leerlingen breukstroken (stambreuken) boven de getallenlijn en leggen ze deze aaneen om zo een breuk of breuksom te construeren. In een tweede fase blijven de stroken zichtbaar, maar kunnen ze niet meer worden verplaatst: het aaneenleggen gebeurt nu mentaal. In de derde fase verdwijnen de stroken volledig en moeten leerlingen de plaats van de breuk of som zonder visuele ondersteuning bepalen.