Betekenisvol tellen en kardinaliteit

In het artikel over subiteren heb je kunnen lezen dat zeer jonge kinderen beschikken over een opvallend krachtig biologisch startschot voor wiskundig denken. Nog vóór er sprake is van tellen, symbolen of onderwijs, kan het brein kleine hoeveelheden (tot ~4) onmiddellijk en exact waarnemen. Dit subiteren is snel, automatisch en diep verankerd in onze biologie. Het vormt daarmee een eerste, ruwe basis voor getalbegrip. 

Hoe fascinerend dit mechanisme ook is… deze niet-symbolische getalsystemen hebben duidelijke grenzen. Eigenlijk begint het echte onderwijs pas nu. In dit artikel zetten we namelijk een stap verder, die naar kardinaliteit. Kardinaliteit verwijst naar het inzicht dat het laatste telwoord aangeeft hoeveel objecten er in totaal zijn. Wie telt: “één, twee, drie, vier, vijf”, en vervolgens begrijpt dat vijf staat voor de hele verzameling, beheerst het kardinaliteitsprincipe. Dat klinkt misschien ontzettend eenvoudig, maar cognitief gezien is dit een enorme sprong.  

Om hier inzicht in te geven: Om succesvol te zijn met kardinaliteit moet een leerling het werkgeheugen belasten met het nadenken over onder andere het volgende: 

• kennis van de telwoorden
• elk item één keer aanraken of aanwijzen tijdens het tellen
• weten welk getal als volgende komt in de telrij
• bepalen hoeveel het er zijn (het benoemen van de hoeveelheid in de verzameling)

De waarde van het inzicht in kardinaliteit wordt nog regelmatig onderschat. Let wel: het verkrijgen van dit inzicht is hét moment dat leerlingen betekenis geven aan tellen. Het maakt van losse telwoorden een samenhangend systeem waarin getallen staan voor hoeveelheden, relaties met elkaar aangaan en gebruikt kunnen worden in denken en handelen. Kinderen die het kardinaliteitsprincipe begrijpen, snappen niet alleen waarom we tellen, maar kunnen getallen ook uiteindelijk vergelijken, samenvoegen, splitsen en gebruiken als mentale eenheden. Daarmee legt kardinaliteit de basis voor optellen, aftrekken en uiteindelijk voor vlot en flexibel rekenen (Clements & Sarama, 2014). Het is dan ook niet gek dat blijkt dat een vroege beheersing van kardinaliteit samenhangt met rekenvaardigheid op de langere termijn (Geary et al. 2017 en Aunio en Niemivirta, 2010). Met andere woorden: wie hier stevig bouwt, plukt daar later de vruchten van! 

Hoe verwerven kinderen dit inzicht?

Zoals vele ouders en kleuterleerkrachten herkennen: kinderen kunnen éérst tellen voordat ze daar betekenis aan geven. (Zie dit artikel van Hans van Luit voor een mooi overzicht in de ontwikkeling van tellen).

Om het inzicht in kardinaliteit te ontwikkelen, hebben kinderen vooral veel ervaringen nodig met contexten waarin het er écht toe doet hoeveel het er zijn. Ouders (en leerkrachten) vragen vaak: “Hoeveel zijn het?”, om vervolgens tevreden te zijn met een telhandeling van de leerling. Het expliciteren van het tellen naar een statement als “dus het zijn er 5” wordt nog te vaak overgeslagen. Een goede kent dat verschil. En precies dát verschil maakt een wereld van verschil (Clements & Sarama, 2020).

Jonge probleemoplossers

In het artikel Vijf strengen van rekenwiskundige bekwaamheid kun je lezen dat probleemoplossend vermogen een onmisbare pijler is van goed rekenonderwijs. Juist bij tellen en het ontwikkelen van kardinaliteit gaat dit hand in hand. Kardinaliteit leer je niet door tellen te oefenen, maar door tellen te gebruiken.

Of, zoals Clements en Sarama het kernachtig verwoorden:

Why count? To find out how many.

Laat kinderen niet tellen omdat “het moet”. Maak het betekenisvol. Maak tellen een middel om een probleem op te lossen. Denk hierbij aan activiteiten waarin kinderen “precies genoeg” moeten pakken: het aantal kinderen aan hun tafel tellen en vervolgens net zoveel servetten ophalen (Clements & Sarama, 2020). Het doel is helder, de feedback is direct en onverbiddelijk. Klopt je telling? Dan heeft iedereen één servet en blijft er niets over. Klopt hij niet? Dan merk je dat meteen.

Ook bij ogenschijnlijk simpele telactiviteiten kan deze probleemgerichte insteek centraal staan:

• Hoeveel stoelen zijn er aan deze tafel? (of iets abstracter: hoeveel kinderen kunnen hier zitten?)
  
  
• Hoeveel kinderen zijn er in de bouwhoek?
  
  
• Kun jij vier potloden halen?

In al deze situaties ligt de nadruk niet op het opdreunen van telwoorden, maar op het resultaat van het tellen. De kardinale uitkomst staat centraal.

Precies daar snijdt het mes aan twee kanten. Enerzijds ontwikkelen kinderen op een natuurlijke manier inzicht in het kardinaliteitsprincipe: tellen doet ertoe, want het levert informatie op. Anderzijds leren ze iets fundamentelers: dat wiskundige activiteiten (in dit geval tellen) krachtige hulpmiddelen zijn om echte, levensechte problemen op te lossen.

Zet subiteren in

Als subiteren het biologische startschot is, dan is het een gemiste kans om het daarna los te laten zodra tellen in beeld komt. Juist bij het ontwikkelen van kardinaliteit kun je subiteren gebruiken als anker: kinderen weten bij kleine hoeveelheden al “hoeveel” het is. Dát kun je didactisch “uitbuiten” om het tellen betekenis te geven.

Een krachtige, simpele aanpak is deze: laat leerlingen eerst een kleine hoeveelheid zien die ze kunnen subiteren (bijv. 3 of 4 stippen). Laat ze die hoeveelheid benoemen. Daarna laat je ze dezelfde hoeveelheid tellen en sluit je expliciet af met het kardinale statement: “Dus… het zijn er vier.” Vervolgens voeg je één object toe (of haal je er één weg) en laat je opnieuw tellen.

Door juist die herhaling ervaren kinderen iets essentieels: het laatste telwoord is niet zomaar het einde van een rijmpje of liedje, maar staat dus voor de totale hoeveelheid. Bovendien kan die hoeveelheid veranderen als er iets bijkomt of afgaat. 

Hoe dan ook: om het begrip van kardinaliteit op te bouwen is het enorm effectief om kinderen kleine verzamelingen te laten subiteren én die vervolgens te laten labelen met het juiste telwoord. Die koppeling van zien > benoemen > tellen > concluderen  is precies een mooie  brug naar het kardinaliteitsprincipe.

Kardinaliteit is er niet ineens

Kardinaliteit is zelden een inzicht dat op dinsdagochtend om 10:12 uur ineens “aan” gaat. Het groeit. En het groeit vaak met de grootte van de aantallen.

Onderzoek beschrijft een opvallend voorspelbare ontwikkelingslijn in de kleuterleeftijd (ongeveer 2–5 jaar). Kinderen beginnen met het koppelen van getalwoorden aan kleine, subiteerbare verzamelingen. Eerst worden ze vaak “one knowers”: ze kunnen betrouwbaar één geven, maar alles daarboven is nog vooral “meer dan één”. Na verloop van tijd worden ze “two knowers” (één en twee lukt), daarna “three knowers”, enzovoort. Opvallend: in die fase kunnen sommige kinderen al best ver tellen (soms tot 10 of verder), maar dat betekent nog niet dat ze kardinaliteit begrijpen. 

Rond het moment dat kinderen tegen de grens van hun subiteerbereik (~4) aanlopen, gaan ze zich gedragen als “cardinality-principle knowers”: kinderen die nu ook bij grotere aantallen (binnen hun telbereik) betrouwbare verzamelingen kunnen maken, omdat ze begrijpen dat het laatste telwoord de hoeveelheid van het geheel weergeeft.

Hoe weet je of ‘n leerling dit inzicht heeft?

Tot slot: hoe weet je of een leerling dit kan? Het antwoord op deze vraag is in principe: kan de leerling de bovenstaande activiteiten uitvoeren? 

In wetenschappelijk onderzoek wordt dit inzicht vaak afgetoetst met een “Give-n” task. Het is erg simpel. Het is erg krachtig. 

Bij deze taak krijgt een kind een hoopje objecten (blokjes, fiches, knopen, wat er maar voorhanden is) en de opdracht:
“Kun jij vier blokjes geven?”

That’s it. Maar het is voldoende.

 Van de Walle et al. (2023) geven een ander mooi voorbeeld van een diagnostisch interview. 

Laat een kaart zien met vijf tot negen grote stippen in een rij. Vraag het kind om de stippen te tellen. Als dat tellen lukt, vraag vervolgens: “Hoeveel stippen zijn er op de kaart?” In het begin zou het kind opnieuw kunnen gaan tellen. Een kind dat het inzicht in kardinaliteit heeft, kan meteen de hoeveelheid zeggen. 

Neem vervolgens fiches erbij. Zeg iets als: “Geef me evenveel fisches als dat er stippen zijn op de kaart.” Vervolgens kun je op het volgende letten (in volgorde van een kind dat nog geen inzicht heeft in kardinaliteit naar een leerling die hier wel inzicht in toont)

1. Het kind telt niet, maar pakt fiches en maakt een vergelijkbaar patroon.
   
   
2. Het kind telt de stippen op de kaart opnieuw.
   
   
3. Het kind pakt fiches in één-op-één-correspondentie met de stippen.
   
   
4. Het kind onthoudt het aantal stippen en haalt het juiste aantal fiches tevoorschijn.
   
   
5. Het kind laat zien dat er evenveel fiches zijn als stippen.