Meetkundelessen skippen? Misschien toch maar niet!

Over de hele wereld vind je vakdidactici die beklagen dat meetkunde te weinig aandacht krijgt op de basisschool. Ook bij ons in Nederland is meetkunde vaak een beetje een buitenbeentje. “vaak worden meetkunde-activiteiten overgeslagen als er tijd te kort is" (Uit Meten en Meetkunde op de Basisschool)

• meetkunde-activiteiten zijn vaak wat lastiger te organiseren; (ze vragen beduidend meer voorbereidingstijd dan lessen binnen de andere domeinen)
• het nut van meetkunde is niet altijd duidelijk;
• meetkundig redeneren valt niet zo gemakkelijk te toetsen en wat niet in de toets past wordt al gauw minder belangrijk gevonden.”

In dit artikeltje geef ik een compact antwoord op in ieder geval de laatste twee punten. Hiervoor zet ik recente onderzoeksbevindingen op een rij die het belang van meetkunde onderstrepen. Daarna introduceer ik een praktisch, wereldwijd gebruikt kader waarmee je in je dagelijkse interactie kunt observeren en bevragen waar je leerlingen staan. Zo krijg je concrete handvatten om te plannen, differentiëren en nieuw onderwijs te ontwerpen. Hopelijk geeft dit je frisse moed én ideeën om morgen met meetkunde aan de slag te gaan!

Waar hebben we het over?

Maar eerst… in dit stuk gebruik ik veelvuldig de termen ‘meetkunde’ en ‘ruimtelijk inzicht’. Dus… laten we voor de zekerheid even starten met wat definities. Meetkunde is de schooltaal van de ruimte: het geeft woorden, beelden en regels om vormen, afstanden, hoeken, posities en bewegingen te beschrijven. Ruimtelijk inzicht is de “mentale tegenhanger” daarvan. Het omvat het vermogen om in je hoofd te draaien, vouwen, in- en uit te zoomen en relaties in de ruimte te zien. Ze verhouden zich als gereedschapskist en vakmanschap: zonder meetkundelessen vinden leerlingen het moeilijk hun ruimtelijk inzicht onder woorden te brengen. Met meetkunde wordt het precies, deelbaar en toetsbaar. De meetkundelessen maken dus zichtbaar wat je “in je hoofd” al voelt. Het geeft leerlingen de woordenschat en de representaties om te zeggen waarom iets klopt, niet alleen dát het klopt.

Ruimtelijk inzicht en rekenprestaties

Dat ruimtelijk inzicht… dat doet er toe. Kort gezegd: kinderen die handig zijn in “denken in ruimte” komen verder met rekenen (in het algemeen, dus niet alleen meetkunde). Dat klinkt op zichzelf al logisch, maar het is vooral ook stevig onderzocht. Een grote overzichtsstudie die 45 onderzoeken samenbracht laat zien dat ruimtelijk inzicht en rekenen steeds samen optrekken. Dit voor jongere én oudere leerlingen, voor jongens én meisjes. Bovendien blijft het effect bestaan als je rekening houdt met andere voorspellers zoals taal en redeneervaardigheid. Met andere woorden: ruimtelijk inzicht voegt echt iets toe aan rekenprestaties. Voor de praktijk betekent dit: investeren in meetkunde en ruimtelijk inzicht betaalt zich terug in rekenen.

En ja… ruimtelijk inzicht kun je trainen. Daar bestaat inmiddels weinig twijfel over. Het is niet een vaststaande eigenschap. Het is niet enkel een talent dat je alleen maar hebt als je er toevallig mee geboren bent. Het is maakbaar. Dát is natuurlijk goed nieuws voor jouw klas. In een grote overzichtsstudie van ruim 200 onderzoeken zie je dat leerlingen, na gerichte oefening, gemiddeld duidelijk vooruitgaan. Vaak was dit effect ook blijvend en realiseerde het transfer. Dat wil zeggen: het effect “werkt door” naar nieuwe taken die niet één-op-één geoefend zijn; precies het soort effect dat je wilt als je leerlingen vaardiger wilt maken in de meetkunde.

Die maakbaarheid is overigens breed. Jongens en meisjes gaan in vergelijke mate vooruit. Leerlingen die aan het begin lager scoren, profiteren vaak juist extra aan doelgerichte oefening. Leeftijd bleek in deze meta-analyse geen doorslaggevende factor: ruimtelijk inzicht is leerbaar over de hele schoolloopbaan. Voor de basisschool  betekent dit simpelweg: begin, en begin vroeg, want iedereen heeft profijt van regelmatig oefenen.

Variatie werkt

Belangrijk is ook: er is niet één “juiste” werkvorm. Bredere lessenreeksen, gerichte ruimtelijke taken of (educatieve) games.. het kan allemaal effect hebben; het punt is dat leerlingen vaak en gevarieerd met ruimte bezig zijn. Voor jonge kinderen kan dat heel alledaags: veel bouwen met blokken en puzzelen, rijk gebruik van ruimtelijke taal en zelfs het bewust inzetten van gebaren. Variatie loont. Het is belangrijk dat in alle situaties vooral de leerlingen zélf aan het denken worden gezet. Kort samengevat: werk in een ritme van ervaren → verklaren → verbinden. Eerst doen en kijken, dan uitleggen met woorden en schetsen en ten slotte de relatie leggen met andere situaties. Hierover later meer.

Meetkunde voor gelijke kansen

Onder het vorige kopje schreef ik dat echt iedereen profijt kan hebben van meetkundeinterventies. Dit is een belangrijk gegeven, want juist hier liggen ‘kansen’ voor het bijdragen aan ‘kansengelijkheid’. Een Australische studie beschrijft hoe, zónder gerichte interventies, juist leerlingen met een kwetsbare thuissituatie (lage SES) extra risico lopen om achterop te raken in wiskunde. Denk aan het verschil in ervaringen buiten school: sommige kinderen bouwen thuis torens met LEGO of K’nex, tekenen plattegrondjes voor een zelfbedacht spel, puzzelen met 3D-bouwplaten of bezoeken een museum. In veel kwetsbare thuissituaties is dat minder vanzelfsprekend: er is minder budget voor bouwmateriaal of uitstapjes, wellicht minder speelruimte, en ouders hebben, door onregelmatige werktijden, meerdere banen en/of stress, misschien minder tijd voor die informele meetkundige gesprekjes. Het gevolg: minder ruimtelijke taal en ‘meetkundige’ oefenkansen. Precies dáár kan school het verschil maken door die rijke ervaringen binnen te brengen. De boodschap van de Australische onderzoekers was dan ook helder: zet meetkunde centraal als je aan kansengelijkheid bouwt, precies omdat de relatie met wiskundige prestaties zo sterk is.

Intrinsieke waarde

Nu ga ik even full-nerd-modus (mijn hobby), maar… Meetkunde heeft een intrinsieke waarde. Leerlingen kunnen simpelweg plezier halen uit het spelen en puzzelen met meetkunde. Denk aan het moment waarop een tangram ineens past, een doolhof zich “oplost”, of je in een puzzelgame inneens alles laat ‘kloppen’ (aanrader: The Talos Principle) . Diezelfde voldoening voel je misschien ook buiten: in het waarderen van architectuur (bogen, ribben, koepels), in het herkennen van patronen in tegelvloeren of street art, in de ritmes van muziek en zelfs in de vormen van de natuur… denk maar eens aan honingraten of varens. Meetkunde scherpt het oog voor schoonheid. “Wie meetkunde spreekt, ziet méér.”

Ben je al warm voor meetkunde? Mooi... maar hoe zat dat dan met dat toetsen...

Hoe je ruimtelijk inzicht 'toetst'

Een belangrijke reden waarom meetkunde soms wordt overgeslagen, is dat het “lastig te toetsen” zou zijn en daardoor als minder belangrijk wordt gezien. Ik ga me nu even niet branden aan hoe je dit bovenstaande allemaal vangt in papieren toetsen, ook omdat ik daar het fijne niet van weet. Wel kan ik informatie geven over hoe je in de interactie met leerlingen kunt “scoren hoever ze zijn”. Hiervoor noem ik graag “Het Van Hiele-model”. Dit model is een inmiddels klassiek (jaren ’50) maar nog altijd veelgeciteerd raamwerk dat in didactische handboeken wereldwijd terugkomt. Het beschrijft hoe meetkundig denken zich stapsgewijs ontwikkelt. Als je die stappen weet… zou je ze misschien, met een beetje creativiteit, ook wel kunnen gebruiken als ‘toets’... toch?

De Van Hiele theorie veronderstelt dat het meetkundig denken kan worden weergegeven in vijf verschillende niveaus. Deze verschillende gradaties in denken zijn een reactie op instructie, en weerspiegelen dus niet bedoeld als instrument om (biologische) ontwikkeling te scoren. Zoals hierboven beschreven: meetkundig redeneren is maakbaar. Instructie werkt. Met het Van Hiele raamwerk kun je nagaan op ‘welk niveau’ de leerling denkt. Je kunt het natuurlijk ook uitstekend gebruiken om je onderwijs mee vorm te geven (“Mijn leerlingen kunnen A… hoe ziet B er dan uit?)  Hieronder vat ik de eerste drie niveaus kort samen. Alleen die eerste drie zijn voor het PO relevant.

Niveau 1: Visualiseren

Op dit niveau reageren leerlingen op wat ze zien als geheel. Een vierkant is een vierkant “omdat het een vierkant is”; een hoek is een hoek “omdat het een hoek is”. Ze denken nog niet in onderdelen of eigenschappen. Als je een ruit 45 graden draait, is het niet langer een vierkant maar een ruit. “Students at this level justify a circle being a circle because 'it looks like a circle'” Kinderen op dit niveau “bewijzen” dus vaak met: iets is waar “omdat het zo eruitziet

Niveau 2 Analyseren

Op dit niveau stappen leerlingen over van “het lijkt op…” naar “het hééft…”. Vormen worden dragers van eigenschappen. Een leerling zegt nu bijvoorbeeld: “Een vierkant heeft vier even lange zijden en vier rechte hoeken. De diagonalen zijn even lang. Het uiterlijk van de tekening wordt minder bepalend: een scheef getekend vierkant is nog steeds een vierkant als je samen afspreekt dat de zijden gelijk en de hoeken recht bedoeld zijn. Kinderen zien de eigenschappen los van elkaar. Ze kunnen deze eigenschappen opsommen en een figuur daar aan herkennen. Het leggen van relaties tussen deze eigenschappen doen ze nog niet.

Niveau 3: Ordenen

Hier gaan leerlingen eigenschappen met elkaar in verband brengen. Ze denken niet meer in losse lijstjes eigenschappen, maar zien wat waaruit volgt. Ze kunnen korte als–dan-redeneringen maken, bijvoorbeeld.: “Omdat een vierkant vier rechte hoeken heeft, is elk vierkant een rechthoek; maar niet elke rechthoek is een vierkant, want rechthoeken hebben niet per se vier gelijke zijden.”

Gaat dit niet alleen over vlakke figuren?

Ja… het valt meteen op: deze theorie spreekt vooral in termen van vlakke figuren. De meetkunde is natuurlijk breder. Op de basisschool behandelen we kijken (wat kun je wél/niet zien vanaf een plek, aanzichten, perspectief), schaduwen (hoe vormen licht, afstand en hoek samen een projectie), oriëntatie in de ruimte (waar ben ik, hoe navigeer ik; kaarten, schaal, coördinaten) én ruimtelijke figuren (lichamen, bouwplaten, doorsnedes). In al die domeinen kun je, wederom: als je een beetje creatief bent, het Van Hiele-denken losjes meenemen als observatiebril: ben je vooral aan het ervaren, kun je al verklaren, of leg je verbanden?

Een schaduwrijk voorbeeld

Neem als voorbeeld het onderwerp schaduwen. Een leerling die nog vooral aan het ervaren/visualiseren is beschrijft vooral wat die ziet aan het geheel. Jij test vooral of deze leerling woorden kan geven aan hetgeen hij ziet. “de schaduw is lang/kort”, “hij staat meer naar links”. Er is nog geen oorzakelijke taal; het blijft bij constateren van veranderingen in vorm of positie.

Op het moment dat de leerling verder komt (lees: jij hem met instructie hiertoe hebt uitgedaagd) kan die ook al analyses maken. Hij gebruikt nieuwe taal en wijst oorzaken aan. “Door deze lichtbron en dit object ontstaat hier die schaduw”; “een lagere stand van het licht geeft een langere schaduw”. De leerling kan het fenomeen schaduwen nu verklaren. Ten slotte kan die zelfs (wederom, na instructie) verbanden leggen en voorspellingen doen. “Als de lichtbron hoger staat (grotere hoek), dan wordt de schaduw korter”; “neem je meer afstand, dan wordt de schaduw kleiner en vager”. De leerling kan met deze kennis voorspellingen doen van hoe schaduwen zich gedragen in nieuwe situaties.

Deze lijn van visualiseren, analyseren en ordenen (of van ervaren, verklaren en verbinden) vind je in al het meetkundige leren. Dit zijn dan ook uitstekende lenzen om in jouw observatiebril te zetten. Nu je dit weet kun, tijdens jouw lessen, prima toetsen of leerlingen kaas hebben gegeten van jouw instructies. Luister naar hun taal, kijk naar hun schetsjes, stel een waaromvraag en je hoort meteen of ze vooral beschrijven wat ze zien, al uitleggen waarom het zo is of zelfs verbanden leggen en voorspellen. Zo krijg je betrouwbaar inzicht in hun denken en zie je welke volgende stap logisch is: nog even terug naar ervaren en taal opbouwen, of juist door naar strakker redeneren en generaliseren. En… het is ook gewoon ontzettend leuk om op deze manier met leerlingen te werken!

Dat was 'm al. Hopelijk is het vuur voor meetkunde aangewakkerd en kriebelt het om morgen aan de slag te gaan. Geef meetkunde een duidelijke plek in je onderwijs en geef je leerlingen die broodnodige boost in wiskunde. Maak van hen nieuwsgierige “nerds”: bouwers, tekenaars en denkers die durven redeneren. Met het ritme ervaren → verklaren → verbinden en je Van Hiele-bril zie je precies waar ze staan en wat hun volgende stap is. Begin klein, herhaal vaak, en geniet van het moment waarop hun tekening en taal ineens kloppen!