Vijf strengen van rekenwiskundige bekwaamheid

Alhoewel dit raamwerk dus alweer even meegaat, is het vandaag de dag nog steeds relevant. De bovengenoemde componenten vind je bijvoorbeeld ook terug in moderne theorieën over wiskundige cognitie. Het kader duikt ook nog altijd in hedendaagse internationale methoden en vakdidactische overzichtswerken om taal te geven aan wiskundige cognitie.

In dit artikel zal ik de vijf componenten bespreken en waar relevant bespreken vanuit de Nederlandse context.

Alles is met elkaar verweven

Maar eerst: de visualisatie van dit model draait er geen doekjes om: álles is met elkaar verweven. Het veronderstelt dat álle aspecten samenhangen en elkaar versterken. Begrip en vaardigheid ontwikkelen zich bijvoorbeeld niet los van elkaar, maar groeien in wisselwerking: beter begrip leidt tot flexibeler en duurzamer gebruik van procedures, terwijl toenemende vaardigheid cognitieve ruimte vrijspeelt voor verder inzicht. Bekwaamheid ontwikkelt zich geleidelijk en vraagt tijd: door herhaald, verdiepend werken aan betekenis, redeneren en oefenen groeien de verschillende aspecten van wiskundig denken in samenhang.

Streng 1: Conceptueel begrip

De eerste ‘streng’ die wordt aangehaald is die van het conceptuele begrip. Dit is meteen een lastige, want… wat betekent het om een concept (zoals vermenigvuldigen) echt te begrijpen? Gaat dat echt alleen over 'wat' het is en wanneer je het gebruikt, of gaat het ook om weten hoe je een vermenigvuldiging moet kunnen oplossen?

Hoe er vanuit dit model naar wordt gekeken is als volgt: conceptueel begrip gaat niet zozeer over het kunnen oplepelen van feiten of ideeën, maar juist over de kwaliteit en kwantiteit van de verbindingen daartussen. Met andere woorden: begrijpen is een rijk en flexibel netwerk van relaties tussen ideeën, representaties en handelingen. Hoe sterker die verbindingen zijn, hoe dieper het conceptuele begrip.

Bij vermenigvuldigen betekent dit bijvoorbeeld veel meer dan het oplepelen van “keer is herhaald optellen”. Een leerling met conceptueel begrip ziet vermenigvuldigen als het werken met groepen van gelijke grootte en kan dat idee herkennen in uiteenlopende vormen. Zo begrijpt een leerling dat 4 x 6 kan staan voor vier groepjes van zes, maar ook voor een rechthoek met 4 rijen en 6 kolommen of voor een schaalvergroting waarbij een hoeveelheid zes keer vier wordt genomen. Uiteindelijk kan de leerling dit idee ook verbinden met complexere situaties, zoals werken met schaal, verhoudingen en evenredigheden.

Daarnaast ziet de leerling relaties tussen vermenigvuldigen en andere concepten en procedures. Hij herkent bijvoorbeeld dat vermenigvuldigen en delen elkaars omgekeerde zijn, 8 x 3 hetzelfde waard is als 3 x 8 en dat 7 x 12 kan worden opgesplitst in 2 x 7 en 10 x 7. Die inzichten maken het mogelijk om flexibel te rekenen: wie even niet weet wat 7x8 = is, kan redeneren vanuit 7×10−7×2. 

Hypothese: sterk conceptueel begrip voorkomt vergeten

Wanneer wiskundige kennis betekenisvol is verbonden, lijkt zij beter behouden te blijven. Leerlingen die een methode begrijpen, onthouden deze waarschijnlijk minder snel verkeerd en merken vaker op wanneer een uitkomst niet logisch is. Als een procedure even niet beschikbaar is, kunnen zij die mogelijk reconstrueren vanuit onderliggende ideeën. In die zin zou sterk conceptueel begrip kunnen bijdragen aan duurzame en flexibele kennis.

Streng 2: Procedurele ‘vloeiendheid’

Hoe zou jij de som 1005 − 995 uitrekenen? Of 55 + 39? Wat dacht je van 1,24 − 0,9?
De kans is groot dat je kiest voor een handige aanpak, zoals aanvullen of rekenen met compenseren. Je rekent vlot en correct, maar die vlotheid berust niet op één vast trucje. Je herkent de structuur van de opgave en kiest bewust een efficiënte strategie.

Dat is wat er in dit model met “procedurele vloeiendheid” wordt bedoeld. Dit gaat niet alleen over snel en foutloos rekenen, maar ook over het kennen van verschillende procedures en weten welke je wanneer handig inzet. Samengevat: je bent procedureel vloeiend als je (a.) efficiënt, (b.) flexibel en (c.) accuraat (correct) rekent. Hierbij hoort ook dat je kunt inschatten of een antwoord redelijk is, bijvoorbeeld door vooraf te schatten of achteraf te controleren.

De oplettende lezer merkt… bij de definitie van conceptueel begrip komen procedures kijken… bij de definitie van procedurele vloeiendheid… begrip…

Daar is vast discussie over…

Inderdaad. In onderzoek naar (arithmetic) fluency bestaat al langere tijd debat over de vraag of begrip hier wel of niet bij hoort. Veel studies definiëren fluency vooral in termen van snelheid en accuraatheid: het binnen één à twee seconden correct oproepen van rekenfeiten (zoals 4 x 6 =)uit het geheugen. Vanuit dit perspectief kan vlotte feitenkennis in principe ook ontstaan zonder diep conceptueel inzicht.

Tegelijkertijd wijzen andere onderzoekers erop dat fluency in de praktijk zelden los staat van betekenisvol rekenen. Van groot belang is dat zij deze betekenisvolle kennis niet alleen een voorwaarde zien voor het ontwikkelen van fluency, maar ook als gevolg ervan. Fluency en begrip versterken elkaar wederzijds. Een recente review (2025) pleit bijvoorbeeld voor het spreken van fluency with understanding. 

Lees ook het artikel: het rekenonderwijs is niet zwart-wit, over de wisselwerking tussen kennis en vaardigheid.

Splitsen, rijgen en aanvullen…

In het Nederlandse rekenonderwijs zie je in groep 4 en 5 een leerlijn die sterk is gericht op het opbouwen van deze “procedurele vloeiendheid”. Leerlingen werken met getallenlijnen en strategieën als rijgen, splitsen en aanvullen. Deze procedures zijn vaak papier- en schemagebonden, maar dat modelgebruik is niet het doel. Deze visualisaties functioneren als hulpmiddel om het denken van leerlingen te ondersteunen, met als uiteindelijk doel dat zij sommen steeds flexibeler en efficiënter in en uit het hoofd kunnen aanpakken. Het idee is dat door te werken met schematische representaties (de getallenlijnen) de leerlingen steeds meer grip krijgen op getalrelaties en bewerkingen.  

Te vroeg leren cijferen

In internationale vakliteratuur kom je verschillende waarschuwingen tegen over het te vroeg aanleren van de standaardalgoritmen (cijferen). Het klopt dat je kinderen al heel vroeg leren cijferen, maar daarmee is het niet automatisch een verstandige route. Het argument is dat een te vroege focus op standaardalgoritmen de aandacht verlegt van het verkennen van getalrelaties en structuren naar het correct uitvoeren van stappen, terwijl juist dat relationele denken een belangrijke basis vormt voor procedurele vloeiendheid. Het idee is dat wanneer leerlingen eerst de ruimte krijgen om verschillende strategieën te onderzoeken, te vergelijken en te onderbouwen, zij een breder en flexibeler repertoire ontwikkelen. Ook in de bovenbouwgroepen blijft het belangrijk om, naast cijferen, aandacht te hebben voor handig rekenen.

“An overemphasis on teaching standard algorithms - especially too early - can actually interfere with the development of fluency.” (Van de Walle et al. 2023)

Streng 3: Probleemoplossend vermogen

Deze streng verwijst naar het vermogen van leerlingen om wiskundige situaties te begrijpen en te vertalen naar bewerkingen. Anders gezegd: leerlingen met strategische competentie kunnen een verhaalsom of een (praktische) wiskundige situatie analyseren, relevante informatie filteren en bepalen welke wiskunde nodig is om tot een oplossing te komen. 

Een belangrijk onderdeel van dit probleemoplossend vermogen is het kunnen gebruiken van representaties. Denk aan een tekening, getallenlijn, een tabel, etc. Zulke representaties helpen leerlingen om grip te krijgen op de relaties in een probleem en ondersteunen het redeneren. Een goedgekozen model past bij de aard van het probleem en geeft meteen structuur. 

Net als bij streng 2 is flexibiliteit een kernbegrip. Logisch, want probleemoplossend vermogen toont zich in het kunnen omgaan met niet-routinematige problemen. Strategisch competente leerlingen herkennen welke kenmerken van een probleem bepalen of een bepaalde aanpak geschikt is. Hierbij horen vragen als: 

• Waarom werkt deze strategie?
• Is dit een efficiënte aanpak?
• In welke situaties werkt deze strategie wel of niet?

In de praktijk

Wellicht herken je het: een leerling lijkt voortreffelijk te kunnen rekenen. Bewerkingen worden vlot en accuraat uitgevoerd, maar toch blijven de scores op LOVS-toetsen achter. Daar kunnen verschillende oorzaken achter liggen. Eén verklaring is een beperkt probleemoplossend vermogen. 

Wanneer je vermoedt dat dit de belemmerende factor is, ligt de focus vooral op het versterken van visualiseren en het expliciet modelleren van metacognitieve vaardigheden. Wat je beter niet kunt doen is het aanleren van kunstmatige trucjes zoals de sleutelwoordstrategie. Daarmee ondermijn je een stuk wiskundige creativiteit dat óók onderdeel is van deze “streng”. Lees hier meer over de sleutelwoordstrategie. 

Streng 4: Metacognitieve vaardigheden

Tot nu toe is flexibiliteit een woord dat steeds terugkomt. Tja, ook bij deze vierde streng, in het Engels adaptive reasoning, duikt het opnieuw op. Dat is niet toevallig. Adaptive reasoning heeft betrekking op het vermogen van leerlingen om hun eigen denken te monitoren, te evalueren en te bij te sturen tijdens het oplossen van wiskundige problemen (zoals redactiesommen). Leerlingen met goed ontwikkelde metacognitieve vaardigheden denken niet alleen na over het probleem, maar ook over hun aanpak: ze overwegen vooraf mogelijke strategieën, volgen tijdens het werken of hun aanpak nog zinvol is en reflecteren achteraf op de redelijkheid en juistheid van hun oplossing.

De alwetende leerkracht

Van de Walle et al. (2023) beschrijven een gevaar dat op de loer ligt als de leraar wordt gezien als de wiskundige deus ex machina. Hoevaak geef jij leerlingen een snelle bevestiging of iets goed of fout is? 

Natuurlijk moet je dat soms ook gewoon doen. Toch, als je dit uitsluitend doet, kan dat het ontwikkelen van adaptief redeneren ondermijnen. Door leerlingen daarentegen te vragen hun redenering te verantwoorden, alternatieven te overwegen en elkaars denkstappen te bevragen, ontstaat een klaspraktijk waarin logisch redeneren een rol krijgt. Op deze manier creëer je inzicht dat “zekerheid” voort kan komen uit de geldigheid van hun eigen redenering. 

Streng 5: Motivatie

De vijfde en laatste streng in het raamwerk is productieve houding (productive disposition). Deze verwijst naar de neiging van leerlingen om wiskunde als begrijpelijk, zinvol en leerbaar te zien én om zichzelf te beschouwen als iemand die wiskunde kan leren en toepassen. Leerlingen met een productieve houding geloven dat inspanning loont en dat succes in wiskunde het resultaat is van oefenen, doorzetten en nadenken, niet van aangeboren talent. 

De theorie veronderstelt dat al het voorgaande (durven vast te bijten in een lastig vraagstuk, verschillende strategieën uit durven proberen, herkennen wanneer een strategie niet werkt) valt of staat bij een stuk mindset. Zien jouw leerlingen rekenen als een test van bekwaamheid, of als een activiteit waar denken en leren centraal staat? 

Rekenangst

Motivatie is níet zomaar een extraatje. Een negatieve houding ten opzichte van rekenen kan zich bijvoorbeeld al vroeg ontwikkelen tot rekenangst. Rekenangst is meer dan wat gezonde spanning bij een toets; het is een gevoel van stress of angst dat optreedt bij het uitvoeren van, of zelfs alleen het denken aan, rekenkundige taken. Leerlingen met rekenangst beschikken vaak wel over de benodigde kennis en cognitieve capaciteiten, maar de angst legt een beslag op hun werkgeheugen. Hierdoor blijft er minder mentale ruimte over om daadwerkelijk problemen op te lossen. Over het algemeen is rekenangst een consistente negatieve voorspeller van rekenprestaties (zie Dowker et al. 2016 voor een review). 

Tip: Lees vooral het artikel “Angst en falen houden elkaar in de greep bij rekenen en wiskunde” van Brenda Jansen in Volgens Bartjens Ontwikkeling en Onderzoek. 

Wat moet je hiermee?

Het is altijd belangrijk om raamwerken als deze met de nodige nuance te benaderen. Dit is natuurlijk een model en zoals bij elk model geldt dat het een vereenvoudiging is van een complexe werkelijkheid. Het biedt taal en houvast, maar geen sluitende verklaring voor hoe wiskundige cognitie precies werkt. Op dit moment wordt de aard van wiskundig denken nog volop onderzocht en bestaan er veel open vragen: 

• Hoe verhouden de componenten zich met elkaar?
• Welke onderliggende processen zijn doorslaggevend?
• Hoe beïnvloeden affectieve, cognitieve en didactische factoren elkaar?

 Recente theoretische kaders binnen de cognitieve psychologie benadrukken juist die gelaagdheid en complexiteit, en laten zien dat we nog lang niet alles begrijpen... en ... misschien ook nooit in één model zullen vangen.

Theorieën als deze kunnen vooral helpen om scherp te kijken naar wat rekenontwikkeling kan omvatten, om eenzijdigheid te vermijden en om bewuster keuzes te maken in onderwijs en begeleiding. Niet omdat het model af is, maar juist omdat het uitnodigt tot blijven denken, onderzoeken en nuanceren.