Let op: dit artikel moet je zien als bijlage (of verrijking) van het artikel "Aan de slag met wiskundige problemen!" Heb je dat artikel nog niet gelezen? Doe dat dan eerst!
In de nieuwe kerndoelen voor rekenen en wiskunde krijgen probleemoplossend vermogen en wiskundige communicatie een prominentere plaats dan voorheen (SLO, 2026). Leerlingen worden nadrukkelijk uitgedaagd om een grote variatie aan problemen op te lossen, hun aanpakken toe te lichten en met elkaar te reflecteren op wiskundige ideeën. in het artikel "Aan de slag met wiskundige problemen" beschreef ik de belangrijkste dingen die jij moet weten om met deze doelen aan de slag te gaan. Zo las je onder andere het wat, waarom en hoe van het werken met deze zogenoemde non-routine opgaven.
Dit artikel brengt een klein stukje verdieping: je leest over een inmiddels klassiek didactisch model dat als basis dient voor uiteenlopende lessen en interventies rond wiskundig probleemoplossen. Het model beschrijft vijf opeenvolgende fasen die houvast bieden bij het voorbereiden, begeleiden en nabespreken van een "probleemles".
Verschillende wegen naar Rome
Maar eerst: Er bestaat niet één vaste manier om met wiskundige problemen te werken. Een meta-analyse van Korpershoek et al. (2026) laat zien dat effectieve interventies uiteenlopende werkvormen en pedagogisch-didactische aanpakken gebruiken, zoals klassikale instructie, samenwerken en begeleide leeractiviteiten. De onderzoekers vonden (vooralsnog) geen aanwijzingen dat één aanpak in het algemeen beter werkt dan de andere. Het model in dit artikel is dus één mogelijke manier om een probleemles te structureren, niet dé manier.
"Orchestrating Productive Mathematical Discussions"
In 2008 publiceerde het wetenschappelijke tijdschrift "Mathematical Thinking and Learning" het artikel "Orchestrating Productive Mathematical Discussions: Five Practices for Helping Teachers Move Beyond Show and Tell". Hierin namen de Amerikaanse professor Mary Kay Stein en haar collega's de lezer mee in hoe je wiskundegesprekken effectiever kunt begeleiden. Het grote idee: door de verschillende uitwerkingen van leerlingen doelgericht te selecteren, te ordenen en met elkaar te verbinden, groeit de nabespreking uit van een reeks losse presentaties tot een gezamenlijk wiskundig leerproces.
Precies dit model heeft vervolgens als inspiratie gediend voor allerlei latere lesmodellen en interventies. Er bestaan inmiddels verschillende varianten, met andere namen, aantallen stappen en accenten (zie bijvoorbeeld (Zie bijvoorbeeld Sullivan et al. 2021 of Utomo et al. 2023 of Kurzman, 2023). In zekere zin kun je ook het eenvoudige driestappenmodel uit Aan de slag met wiskundige problemen zien als een compacte variant van dezelfde onderliggende leslogica.
Hieronder lees je een beknopte vertaling van het model van Stein et al. (2008). Je kunt dit gebruiken als inspiratie voor de voorbereiding en begeleiding van je eigen "probleemlessen".
Het model
De kern van dit model is het klassikale gesprek na een vrije oplossingsfase. Dat gesprek is niet bedoeld als een willekeurige reeks leerlingpresentaties, maar wordt door jou als leerkracht doelgericht georganiseerd. Door vooraf te anticiperen op mogelijke strategieën, tijdens het werken te monitoren welke aanpakken leerlingen gebruiken en vervolgens bewust oplossingen te selecteren en te ordenen, creëer je een gesprek waarin belangrijke wiskundige ideeën (middels vergelijking en reflectie) zichtbaar worden.
Het model bestaat uit deze fasen:
Fase 1: Anticiperen
De eerste stap in het model is anticiperen. Zie het als de lesvoorbereiding. In deze fase probeert de leerkracht vooraf te voorspellen hoe leerlingen een probleem zouden kunnen aanpakken. Het gaat hierbij om meer dan inschatten of een opgave qua niveau geschikt is. De leerkracht denkt namelijk óók al na over verschillende oplossingsstrategieën (heuristieken) die leerlingen mogelijk zullen gebruiken, welke fouten of misvattingen kunnen optreden en welke belangrijke wiskundige ideeën in de verschillende aanpakken zichtbaar worden.
Dit vraagt van de leerkracht dat hij of zij het probleem vooraf zelf oplost, liefst op meerdere manieren. Dit geeft je meteen een beeld van mogelijke redeneringen, representaties en struikelblokken. Die ga je vervolgens tijdens de les beter herkennen, selecteren en in dit model belangrijk: met elkaar verbinden.
Wat gaan mijn leerlingen waarschijnlijk doen? Welke aanpakken zijn er mogelijk? Welke misconcepties liggen er op de loer?
Fase 2: Monitoren
Je presenteert het probleem aan de leerlingen. Een prikkelende lesstart waarbij je ook (driedubbel)checkt of iedereen het probleem daadwerkelijk begrijpt. Als je twijfelt of een leerling begrijpt wat het probleem vraagt, kun je hem/haar vragen om het probleem in eigen woorden nog eens uit te leggen; dan pluk je de angel er zo uit.
Hierna gaan de leerlingen aan de slag. Dit kan in verschillende vormen… (eerst) alleen… in tweetallen of kleine groepjes… Als leerkracht kom je nu in de fase van het monitoren.
Je loopt rond door de klas en probeert zicht te krijgen op hun wiskundig denken. Daarbij kijk je niet alleen of leerlingen aan het werk zijn of een juist antwoord vinden, maar vooral welke strategieën, redeneringen en representaties zij gebruiken. Het doel is om te ontdekken welke wiskundige ideeën in hun aanpakken verborgen zitten en welke leerlingoplossingen interessant kunnen zijn om straks klassikaal te bespreken. Monitoren bouwt voort op het anticiperen van mogelijke leerlingreacties. Doordat je vooraf hebt nagedacht over mogelijke strategieën en misvattingen, herken je tijdens het rondlopen gemakkelijker wat leerlingen doen en waar hun denken naartoe gaat. Tegelijkertijd blijf je natuurlijk openstaan voor onverwachte aanpakken.
Hoe pakken de leerlingen de opgave aan? Welke oplossingsstrategieën passen de leerlingen toe?
Fase 3: Selecteren
Na (of gelijktijdig met) het monitoren volgt de derde fase: selecteren. Op basis van wat je tijdens het rondlopen hebt gezien en gehoord, kies je bewust welke leerlingen hun aanpak straks met de klas delen. Het doel is niet om zoveel mogelijk verschillende oplossingen te laten zien, maar om die oplossingen te selecteren die belangrijke wiskundige ideeën zichtbaar maken. Maak het niet te uitgebreid, als je drie uitwerkingen bespreekt, is dat al prima.
Deze stap vraagt dus om doelgerichte keuzes. Soms kies je een leerling die een krachtige strategie heeft ontwikkeld die je wilt uitlichten. Soms kies je juist een leerling met een veelvoorkomende misvatting, zodat de klas gezamenlijk kan onderzoeken waarom die redenering aantrekkelijk lijkt, maar uiteindelijk niet klopt. Op die manier worden ook fouten een waardevolle bron van leren. Dit vraagt natuurlijk wel een pedagogisch veilige aanpak.
In andere woorden: Als leerkracht moet je regie houden over de wiskundige inhoud van het gesprek dat gaat plaatsvinden. In plaats van afhankelijk te zijn van toevallige vrijwilligers, bepaal jij welke ideeën op tafel komen en welke inzichten leerlingen kunnen ontwikkelen. Daarbij hoeft dus zeker niet elke gevonden strategie besproken te worden. Sommige aanpakken voegen weinig nieuws toe, terwijl andere juist een waardevolle les voor medeleerlingen kunnen vormen.
Het selecteren van leerlingwerk geeft de klassikale bespreking focus.
Waarom zou de aanpak/oplossing van deze groep met de klas gedeeld moeten worden? Waarom zou het werk van andere groepen misschien niet gedeeld moeten worden?
Fase 4: Ordenen
Nadat je hebt bepaald welke leerlingoplossingen besproken worden, denk je na over de volgorde waarin deze aan bod komen. In het lesmodel van Stein et al. (2008) is die volgorde niet willekeurig. Het doel van deze ordening is het verhogen van het niveau van alle kinderen.
Vaak is het verstandig om te beginnen met een aanpak die voor veel leerlingen herkenbaar of gemakkelijk te begrijpen is. Vervolgens kun je toewerken naar meer geavanceerde of abstracte strategieën. Ook kun je ervoor kiezen om een veelvoorkomende misvatting eerst te bespreken, zodat leerlingen begrijpen waarom die aanpak niet werkt voordat zij kennismaken met krachtigere strategieën. Een andere mogelijkheid is om vergelijkbare of juist contrasterende aanpakken direct na elkaar te laten presenteren, zodat leerlingen de overeenkomsten en verschillen gemakkelijker kunnen herkennen.
Een slimme ordening bouwt stap voor stap naar het (wiskundige) inzicht dat je met de les wil bereiken. De gekozen volgorde hangt daarbij af van jouw leerlingen en van het specifieke leerdoel dat je voor ogen hebt.
In welke volgorde bespreek je de verschillende oplossingen? a. Van informeel naar formeel? b. Van eenvoudig naar complex? c. Van veelvoorkomende naar minder gebruikelijke strategieën/heuristieken? Bespreek je eventuele misvattingen meteen, of wacht je daar bewust mee tot later in de les?
Fase 5: Verbinden
De vijfde en laatste fase is die van het verbinden. In deze fase help je leerlingen om verbanden te leggen tussen de verschillende oplossingsstrategieën, representaties en wiskundige ideeën die tijdens de bespreking naar voren zijn gekomen. Je kunt leerlingen bijvoorbeeld laten onderzoeken waarin twee strategieën van elkaar verschillen, maar ook welke wiskundige principes ze delen. Soms lijken twee aanpakken op het eerste gezicht heel verschillend, terwijl ze eigenlijk gebaseerd zijn op hetzelfde idee. Door dergelijke verbanden te expliciteren, help je leerlingen om hun begrip te verdiepen en wiskundige concepten flexibeler toe te passen.
Deze stap is éigenlijk de kern van het hele model. Zonder verbindingen blijft een klassengesprek steken in een reeks losse presentaties. Door strategieën met elkaar te vergelijken, te generaliseren en te koppelen aan bredere wiskundige inzichten ontstaat daadwerkelijk nieuw begrip.
Welke wiskundige ontwikkeling of inzicht wil ik zichtbaar maken door de geselecteerde leerlingoplossingen te bespreken? Zijn er belangrijke wiskundige inzichten die aandacht verdienen, maar die niet spontaan in de oplossingen van de leerlingen naar voren kwamen?
Een voorbeeld
De opgave is: "Een fietsenwinkel heeft 36 fietsen en driewielers. Samen hebben ze 80 wielen. Hoeveel fietsen en hoeveel driewielers staan er in de winkel?" -
In de anticipeerfase heb je al verschillende mogelijke oplossingsstrategieën in kaart gebracht. Daarbij heb je eventueel ook nagedacht over de volgorde waarin je deze strategieën (mits ze zich in de les voordoen) wilt bespreken. Vaak loopt die volgorde op van concrete en toegankelijke aanpakken naar meer efficiënte of wiskundig krachtige strategieën. Als je de gedachte van Stein et al. (2008) volgt, wil je de leerlingen laten zien dat er meerdere waardevolle manieren zijn om een probleem op te lossen, maar ook dat sommige aanpakken wiskundig gezien eleganter, algemener of efficiënter zijn dan andere.
Je “lanceert” het probleem. Het heeft eigenlijk nog maar weinig verduidelijking nodig, want het spreekt vrij snel tot de verbeelding. Je kiest ervoor om de leerlingen in tweetallen aan de slag te laten gaan.
Je loopt rond met wijd open ogen en gespitste oren. Je ziet de volgende oplossingen:
Tweetal A maakt een uitgebreide tekening. Ze tekenen 36 tweewielige fietsen. Dan tellen ze hoeveel extra wielen nodig zijn om op 80 uit te komen. Hé… 8 fietsen worden miraculeus omgetoverd tot een driewieler.
Tweetal B begint met de klassieke strategie: Trial and Error. Ze proberen een aantal combinaties en verbeteren steeds hun poging met (enigszins) beredeneerde gokken.
20 fietsen… 16 driewielers… dat zijn 88 wielen dus teveel
22 fietsen en 14 driewielers… dat zijn 86 wielen… nog steeds iets te veel.
23 fietsen en…
Tweetal C is ook lekker bezig met Trial and Error, maar dat gaat een stuk chaotischer.
15 fietsen, 21 driewielers…
30 fietsen, 6 driewielers…
Uiteindelijk komen ze er...
Tweetal D die doet eigenlijk hetzelfde als A, maar dan puur vanuit een stuk logisch redeneren.
Alle 36 voertuigen hebben minstens 2 wielen… 36 × 2 = 72 wielen… Er zijn in werkelijkheid 80 wielen… Dat zijn 8 extra wielen… Elke driewieler heeft 1 extra wiel ten opzichte van een fiets…Dus er zijn 8 driewielers en 28 fietsen!
Tweetal E… Tja, één van hen heeft duidelijk al van de algebraïsche kaas gegeten (en moet misschien wel stiekem bijles gehad hebben van een oudere broer of zus in het voortgezet onderwijs) want die begint met het opstellen van een heuse vergelijking.
“Je weet: f + d = 36 en 2f +3d = 80 waarbij f staat voor het aantal fietsen en d staat voor het aantal driewielers.
f = 36−d
2(36 − d) +3d = 80
72 −2d + 3d = 80
72 + d = 80
d = 8, f is dus 28.”
Tja. Je ziet zijn overlegmaatje beduusd naar het papier staren. Je vraagt de opsteller dan ook nadrukkelijk om zijn oplossing in klare taal te communiceren.*
Op een geeltje maak je snel een ordening. De oplossing van E is wiskundig gezien het elegantst... gevolgd door D, A, B en ten slotte C. Je besluit de oplossingen tijdens het klassikale nagesprek in omgekeerde volgorde (Dus C > B > A > D >E) te bespreken. Het doel: de leerlingen verschillende heuristieken te laten bespreken en laten nadenken over de efficiëntie van elke aanpak.
Net voorafgaand aan dit nagesprek benadruk je dat álle oplossingen geldig en waardevol zijn. Het is dan ook niet zo dat de één per se beter is voor iedereen**, maar misschien wiskundig wel wat handiger.
Je trekt een verticale lijn door het midden van het digibord en nodigt de tweetallen C en B uit om hun oplossing (na elkaar) hardop denkend uit te werken op elk een helft van het bord. Zo ontstaan er twee strategieën naast elkaar op het bord. Je bespreekt welke versie van trial & error efficiënter zou zijn.
Vervolgens vraag je tweetal A naar voren om hun tekenwerk te demonstreren. Om wille van de tempo komen ze niet naar het digibord, maar tonen ze fier hun papier aan iedereen . Ze leggen kort hun strategie uit. Je benadrukt dat, bij twijfel, het uittekenen van een probleem áltijd een goed idee is.
Ten slotte vraag je de tweetallen D en E naar voren. Wederom werken deze tweetallen elk hun oplossing uit op één helft van het digibord, zodat er weer twee uitwerkingen naast elkaar staan. Je helpt tweetal E met het in begrijpelijke taal uitleggen van deze strategie... maar je stelt ook de klas gerust. “Als je dit nu nog niet helemaal kunt volgen… is dat totaal niet erg. Dit is iets wat je zeer zeker nog gaat leren in het VO”. Wederom voer je een klassikaal gesprek waarin de overeenkomsten en verschillen worden geëxpliciteerd. Het mooie aan dit voorbeeld is dat zowel D en E éigenlijk ruwweg dezelfde redeneringen volgen. Alleen wist E hier een passende symbolische notatie bij te vinden.
*mocht je denken: algebra… gaat dat niet wat ver voor het PO? Enerzijds: ja. Het maken van vergelijking is typisch een heuristiek dat vooral in het VO wordt aangeleerd. Anderzijds: Nee. In groep 8 kun je, zéker richting het einde van het schooljaar, gemotiveerde kinderen al porren met juist dit soort problemen en notaties.
**dat een oplossing handig is, betekent niet automatisch dat dat voor iedereen ook de beste is. Een handige oplossing is namelijk vaak cognitief veeleisender en afhankelijk van (veel) voorkennis. Als een leerling daar nog niet aan toe is, zou ik deze leerling ook zeker niet toe verplichten specifieke strategieën te gebruiken. Het is wel waardevol om leerlingen mee te laten kijken (en denken) bij de nabespreking. Als je dat goed aanpakt, is het expliciet vergelijken van strategieën niet verwarrend. Uit onderzoek weten we dat ook leerlingen met weinig voorkennis wiskundig elegantere strategieën kunnen waarderen én analyseren. Dat een leerling het nog niet zelfstandig uit kan voeren, betekent niet dat die er niets van leert (Newton et al. 2019).
Nóg twee voetnoten!
Tijd
Een vraag die misschien bij je opkwam is: hoelang moet dit alles duren? Dit is lastig te zeggen, want dit hangt natuurlijk van de aard en complexiteit van het gekozen probleem af. Het is raadzaam om tijdens de oplossingsfase je ogen en oren open te houden: hoever zijn ze ermee? In mijn ervaring ben je met vijf tot tien minuten meestal al wel toe aan het bespreken van antwoorden. Tip: hou altijd een “bonusopgave” achter de hand (of laat leerlingen zelf soortgelijke problemen bedenken) als “klaaropdracht”. Je wilt niet dat leerlingen die vroeg klaar zijn zich gaan vervelen…
Wees ook vooral kritisch met hoeveel uitwerkingen je wil bespreken. Daar gaat namelijk veel tijd in zitten en de aandacht van leerlingen is niet onbeperkt houdbaar. In het voorbeeld hierboven besprak ik vijf antwoorden. Dat is wel echt op het randje. Less is more.
De alwetende leerkracht
Het is voor ons als leerkrachten een valkuil om als "alwetende" op te treden. Zeker wanneer leerlingen nog weinig ervaring hebben met niet-routineproblemen, zijn zij vaak sterk gericht op het vinden van het juiste antwoord in plaats van op het ontwikkelen van een aanpak. Wees daarom voorzichtig met het te snel geven van antwoorden of het bevestigen van de juiste oplossing. Juist door leerlingen zelf te laten redeneren over de vraag of een oplossing klopt, ontwikkelen zij hun probleemoplossend vermogen en wiskundig inzicht.
Dat betekent overigens niet dat je tijdens de oplossingsfase geen ondersteuning mag bieden. Integendeel. Wanneer leerlingen vastlopen, kun je hen helpen met vragen, hints of het verhelderen van de opdracht. Ook kun je heuristieken voorstellen. Probeer daarbij wel het denkwerk zoveel mogelijk bij de leerling te laten. Dit is makkelijker gezegd dan gedaan.